一、Riccati方程的一个新的可积定理（论文文献综述）
王琨[1]（2020）在《较弱非退化条件下拟周期系统的可约化性》文中研究表明本文主要利用KAM理论研究几种带有小参数的近常拟周期线性实系统的约化问题。在没有非退化条件的假设下,我们分别研究了光滑依赖于小参数的二维和三维拟周期系统的可约化性,以及解析依赖于小参数的三维拟周期系统的可约化性。此外我们还用KAM理论研究了在较弱非退化条件下圆环面上保积映射的不变曲线的存在性。本文共有七章组成,每章的内容如下:第一章简要介绍了哈密顿系统的背景知识,并介绍了 KAM理论的经典结果和思想。此外我们还介绍了拟周期系统可约化性问题的研究背景和进展。最后简要叙述了本文的主要工作,并阐述了创新点。在第二章中,我们研究了如下带有小参数的二维线性拟周期哈密顿系统其中A是一个二阶的实哈密顿矩阵,∈是一个小参数,矩阵Q关于t是解析拟周期的,关于∈是m次光滑可导的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了如下结论:（1）当m=1时,存在一个充分小的∈0>0和一个有正勒贝格测度的子集E（?）（0,∈0）,使对所有的∈∈E,系统都是可约化的;（2）当m=0时,存在一个充分小的∈0>0和一个有连续统基数的子集E（?）（0,∈0）,使对所有的∈∈E,系统都是可约化的。在第三章中,我们把第二章的结论推广到如下的三维反对称系统:其中A是一个反对称的常数矩阵,Q是一个反对称矩阵,关于t是解析拟周期的,关于∈是m次光滑可导的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了系统（0.1）对于许多充分小的参数是可约化的。在第四章中,我们研究如下的三维系统:其中A是实的三阶常数矩阵,有一对复特征值ξ±iβ和一个实特征值ζ,并且满足ξ≠ζ,β≠0.矩阵Q关于t是实解析拟周期的,关于小参数∈是解析的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了对于在勒贝格测度意义下的大多数充分小的参数,系统（0.2）是可约化的。在第五章中,我们仍然研究三维系统（0.2）,其中A是实的三阶常数矩阵,有一对复特征值ξ±iβ和一个实特征值ζ,并且满足β≠0.矩阵Q关于t是实解析拟周期的,关于小参数∈是m次光滑可导的。我们证明了如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,则在没有非退化条件的假设下,对于许多充分小的参数,系统（0.2）是可约化的。在第六章中,我们考虑了如下保积映射:其中函数f和g关于（x,y）在T×[a,b]上实解析,关于参数ξ是m次光滑可导的,并且g关于x的平均为0.在没有非退化条件的假设下,我们首先证明了映射（0.3）的一个形式KAM定理。然后利用这个形式KAM定理证明了在经典的非退化条件下的KAM型结论。此外还证明了在更弱的非退化条件下的KAM型结果。在第七章,我们对未来研究进行了展望,并给出了研究计划。
黄开银[2]（2019）在《微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性》文中研究说明十九世纪80年代末,Picard和Vessiot将代数方程的Galois理论推广到齐次线性微分方程组,建立了微分Galois理论.上世纪九十年代,Morales-Ruiz和Ramis等人结合微分Galois理论和Ziglin理论,建立了解析哈密顿系统不可积性的判定准则,并取得了一系列的重要成果.在这篇论文中,我们将利用微分Galois理论研究非线性动力系统的可积性与不可积性,尝试探讨系统的不可积性与混沌等复杂行为,系统的可积性与弱Painlev′e性质之间的关系.全文共分五章,第二,三,四,五章为主要工作.第二章,我们分别在概率1和期望不变意义下引入随机微分方程局部首次积分的定义,给出了它们的代数刻画.同时,我们将关于常微分方程经典的Poincar′e不可积定理推广到随机微分方程,利用共振条件分别给出了随机微分方程存在局部强、弱首次积分的必要条件.最后,我们将所得结果应用于随机Sharma-Parthasarathy两体方程等模型.第三章,我们应用微分Galois理论等方法研究数学物理中几类三维系统的可积性与不可积性,包括Lorenz系统,Shimizu-Morioka系统以及广义Rikitake系统.我们的结果表明对参数几乎所有的取值这些系统都是不可积的.对Lorenz系统（?）当（?）时,Lorenz系统存在两个函数独立的积分[J.Phys.A.38（2005）2681–2686];当α=0时,我们给出了Lorenz系统不存在亚纯首次积分的充分条件;当（?）且（?）时,我们证明了Lorenz系统形式首次积分的存在性.对Shimizu-Morioka系统（?）当（?）时,我们证明Shimizu-Morioka系统是Rucklidge系统的一种特殊情形,并利用Rucklidge系统的相应结果讨论了Shimizu-Morioka系统的达布可积性.当（?）时,我们利用代数几何中的Gr?bner基研究了Shimizu-Morioka系统的达布可积性,找到了所有次数不超过三次的不变代数曲面和指数因子.当（?）时,通过分析变分方程的微分Galois群的性质,我们证明了Shimizu-Morioka系统对参数几乎所有的取值在广义刘维尔意义下都不是有理可积的;当（?）时,我们利用Kowalevski指数证明了Shimizu-Morioka系统不是代数可积的.对广义Rikitake系统（?）我们给出了其在可积情形下的一族可积变形并且证明了其具有无穷多的哈密顿-泊松实现和双哈密顿结构.在一般情形下,给出了广义Rikitake系统不可积的充分条件,并讨论了解析首次积分的不存在性.第四章,我们首先利用Kowalevski指数给出了拟齐次系统是完全可积的一些必要条件.作为应用,我们证明了如果-1是Kowalevski矩阵的简单根,那么多项式微分系统的代数可积性蕴含了弱Painlev′e性质,这部分地解决了Goriely提出的猜想[J.Math.Phys.37（1996）,1871-1893].其次,我们考虑了齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下的可积性.通过分析沿尺度不变特解的变分方程的微分Galois群的性质,证明了如果齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下是亚纯可积的,那么所有可能的Kowalevski指数都必须是有理数.第五章,我们探讨保守系统的部分可积性和变分方程的Galois群结构之间的关系,证明了如果9)-维保守系统具有9)-2个函数独立的亚纯首次积分,那么沿特解的法向变分方程的微分Galois群的单位分支是可交换的,沿特解的变分方程的微分Galois群的单位分支是可解的.利用该结果,我们证明了描述有限深度流体中孤立波维特级数解的五维Karabut系统有且仅有两个函数独立的多项式首次积分,从部分可积性的角度改进了文献[Nonlinear Anal.32（2016）91–97]中的结果。
段锋,赵临龙,张兰[3]（2014）在《关于Riccati方程可积性的研究》文中研究表明利用平凡的变量代换的方法,讨论了Riccati方程的可积性,由此提出了Riccati方程的三个新的可积定理,包含了此前相似结论,扩充了Riccati方程可积判据.
张玉兰[4]（2013）在《一类二阶变系数线性微分方程的通解》文中研究说明利用变量代换y=zeφ（x）将二阶变系数线性微分方程y″+P（x）y’+Q（x）y=f（x）化为方程z″+[2φ’（x）+P（x）]z’+{[φ’（x）]2+φ″（x）+P（x）φ’（x）+Q（x）}z=f（x）e-φ（x）,再根据P（x）,Q（x）的五种关系,分别得出了方程（1）和其对应的齐次微分方程的通解公式.
段锋,张兰[5]（2013）在《Riccati方程的可积性条件》文中研究说明利用平凡的变量代换方法,讨论了Riccati方程的可积性,由此给出了Riccati方程的几个新的可积定理,定理包含了已有的相关结论,从而扩充了Riccati方程可积的判据。
段锋[6]（2013）在《几种Riccati方程新的可积类型》文中研究指明利用变量代换方法,提出了一系列新的有关Riccati方程的可积类型,推广了Riccati方程的可积结果.
田守富[7]（2012）在《非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统》文中研究说明基于计算机数学机械化思想和‘’AC=BD"统·理论模式，借助于现有的理论及相应的符号计算软件，本论文主要研究了孤子方程的AC=BD模式与卦理论，非线性微分方程的（Binary）Darboux与Backlund变换、微分变换及Hamiltonian可积簇，非线性微分方程的非局部分析，非线性微分方程、超对称和超离散方程的有限高亏格解与可积系统问题等.第一章介绍计算机数学及计算机代数，孤子理论，非线性方程、超对称与超离散方程的机械化求解方法与可积系统问题等在国内外的历史发展概况，并介绍本论文的选题和主要工作.第二章基于AC=BD模式及其C-D可积系统与C-D对,我们做了两方面的工作.在代数几何解中：推出了Dubrovin型方程,Its-Matveev公式及Super-Its-Matveev公式；在Sato理论中：分别给了Lax方程与Sato方程、Lax方程与反散射框架、Lax方程与Zarharov-Shabat方程、Sato方程与Hirota双线性方程等之间的关系,并揭示了这些方程解的统一模式可由Tau函数表示.另一方面,为了揭示可积系统的一般性结构,我们首次系统地提出了“卦理论”,包括“卦结构”和“卦恒等式”,并分别给出了一些内分解-和外分解-卦恒等式：Wronskian、Grammian、Pfaffian、Young图的Schur函数和特征多项式、Clifford-和Heisenberg-代数的Fock表示空间等,并首次阐明Clifford-（Heisenberg-）代数的Fock表示空间均为卦（同构卦）空间.最后给出了构造Tau函数与Theta函数之间关系的新方法,间接地建立了卦结构与代数几何解之间的联系.第三章基于Lax谱理论、Painleve奇异流形理论,分别给出了一类微分方程的三类N-重Darboux变换,Auto-Backlund不（?）Binary Darboux变换,及其相应的周期波解和Grammian解.利用离散Lax谱问题,通过选取合适的谱Vn（m）,给出了一类新的Hamiltonian Lattice簇的一些经典Lattice约化、multi-Hamiltonian（?）结构在对合意义下的可积性质、离散Darboux变换及其解析解.基于¨Sato理论框架并借助于限定的mKP方程,提出了一类自溶源rnKP （mKPESCSs）方程及其Lax谱问题；利用共轭Lax对,进而研究其向前、向后和N重Binary Darboux变换,其中Binary Darboux变换提供了两个不同次数的mKPESCSs之间的一个非自治Backlund变换；借助于这些变换可以得到mKPESCSs的一些新典型解如孤立子解、有理解、呼吸子解和指数解等.通过研究微分变换与Pade逼近理论,获得了着名的浅水波Camassa-Holm方程波峰连续与非连续解析近似解；与解析解比较,研究了其计算的有效性和高精度.第四章借助于守恒律乘子，获得了一类微分方程的非局部分析其中包括非局部相关PDE系统、树形结构、非局部对称与守恒律等.借助于非局部对称，进而研究了原PDE系统的非局部线性化，并提出了广义不变解的一套新方法.对某一类PDE系统，给出了其非局部对称与Nonclassical方法在求解方而的关系与George W. Bluman（?）教授等的合作中给出了着名的非线性Kompaneets（NLK）（?）方程的非局部分析；与近期（?）Ibragimov教授的工作相比，利用非局部分析中已得到的结论获得了NLK方程的更广义类型的解；这些新解不能由NLK方程局部对称的不变解所得到，并打破了NLK方程自1956年以来只有唯一一类局部平凡解析解的状况.特别地，得到了以前未知的五类涉及两参数的精确时间独立解析.有趣的是，这些解都可以用初等函数所表示，并且其中两类在有限时间内表现出爆破行为，另外三类则表现出静止行为.最后证明了所有的非平凡稳态解都具有不稳定性，并且他们相对于Dubinov教授所给出的隐式解是新的.第五章基于超空间,利用Hirota双线性和Riemann theta（?）函数的性质，分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的有限高亏格（?）的Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析，并将其分别应用到了CDGSK方程、（2+1）-维DBS方程和超对称KdV-Burgers方程等.借助于theta函数的有理恒等式提出了求解一类离散方程的N-theta周期波解的方法：并将这类结论推广到了离散方程和（?）heta（?）函数的超离散化空间上，进而分别获得了相同亏格（?）的Ud-Riemann theta（?）函数周期波解.做为这种方法的应用，分别研究了离散修改的Korteweg-de Vires（mKdV）方程和广义的Toda lattice方程等第六章借助于多维的Bell与super Bell多项式,分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的可积性分析，同时给出了可积判定条件，使此类方程（组）成为一类可积系统，并将其分别应用到了一类广义变系数的KP方程、5-阶KdV方程（?）IsKdV-Burgers方程等，获得了一些新的可积性结论.借助于超离散的‘’max-plus"代数理论及其Lax（?）（?）性系统的相容条件，提出了一般超离散方程的Lax可积定理和可解性定理：通过研究有限高亏格（?）的Riemann theta （?）函数的超离散化，进而获得了一类超离散化方程相同亏格（?）的Ud-Riemann theta函数解.最后将这一般的超离散化及其可积性理论分别应用到了离散的Lattice Krichever-Novikov方程、离散的mKdV方程和离散的Painleve方程等.
郑波[8]（2009）在《Riccati方程可积条件的探讨》文中研究表明本论文由二章组成.第一章给出了研究Riccati方程的几种常用变量代换,以及Riccati方程可积问题的研究历史.第二章用变量代换法研究了Riccati方程可积的充分条件,并给出了相应的特解,通解公式以及一些可积的Riccati型方程.
陈明玉[9]（2008）在《一类广义Riccati方程的三个可积判据》文中研究说明考虑一类广义Riccati方程,通过函数变换,在所给条件下,将这类方程等价地化为变量分离方程,从而得到了该方程可积的三个充分性判据,并给出方程通解的参数表达形式,扩大了Riccati方程的可解性范围.
张学元[10]（2004）在《一类新二阶非线性微分方程的可积判据》文中研究指明先通过类比着名的Bernoulli方程 ,提出了一类新二阶非线性微分方程 ,然后对它引进特征方程的概念 ,给出了一个实用的可积充分判据及其通解的积分表达式 ;在退化情形下 ,导出了经典的二阶常系数线性非齐次微分方程的通解表达式及二阶变系数线性齐次微分方程的一个新的可积类型
二、Riccati方程的一个新的可积定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Riccati方程的一个新的可积定理（论文提纲范文）
（1）较弱非退化条件下拟周期系统的可约化性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 基本概念 |
| 1.1.1 哈密顿系统的基本概念 |
| 1.1.2 Liouville可积定理 |
| 1.2 经典的KAM理论 |
| 1.2.1 经典的KAM定理 |
| 1.2.2 可积系统低维环面保持性 |
| 1.2.3 形式KAM定理 |
| 1.3 拟周期系统可约化性问题的发展 |
| 1.3.1 周期系统的Floquet理论 |
| 1.3.2 拟周期系统可约性问题的背景 |
| 1.4 本文的主要工作与创新点 |
| 1.4.1 主要研究内容和结果 |
| 1.4.2 主要创新点 |
| 第二章 二维线性拟周期系统的约化 |
| 2.1 主要结果 |
| 2.2 形式约化引理 |
| 2.3 形式约化引理的应用和主要结果的证明 |
| 2.4 形式约化引理的证明 |
| 2.4.1 KAM步骤的框架 |
| 2.4.2 线性同调方程 |
| 2.4.3 小分母延拓 |
| 2.4.4 KAM迭代 |
| 第三章 一类具有反对称结构的三维线性拟周期系统的约化 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 形式约化引理 |
| 3.3 形式约化引理的应用和主要结果的证明 |
| 3.4 形式约化引理的证明 |
| 3.4.1 KAM步骤的框架 |
| 3.4.2 结构的保持性 |
| 3.4.3 同调方程 |
| 3.4.4 小分母的延拓 |
| 3.4.5 KAM迭代 |
| 第四章 关于小参数解析的三维线性拟周期系统的约化 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 主要结果的证明 |
| 4.2.1 迭代框架 |
| 4.2.2 线性同调方程 |
| 4.2.3 非退化条件和测度估计 |
| 4.2.4 非退化情形的KAM迭代引理 |
| 4.2.5 退化情形的KAM迭代 |
| 第五章 关于小参数光滑的三维线性拟周期系统的约化 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 形式约化引理 |
| 5.3 形式约化引理的应用和主要结果的证明 |
| 5.4 形式约化引理的证明 |
| 5.4.1 KAM步骤的框架 |
| 5.4.2 同调方程 |
| 5.4.3 小分母的延拓 |
| 5.4.4 KAM迭代 |
| 第六章 较弱非退化条件下圆环上保积映射的不变曲线的存在性 |
| 6.1 映射KAM理论发展 |
| 6.2 辛映射的形式KAM定理 |
| 6.3 形式KAM定理的应用和弱非退化条件下保积映射不变曲线的保持性 |
| 6.4 形式KAM定理的证明 |
| 6.4.1 KAM步骤和迭代引理 |
| 6.4.2 KAM迭代 |
| 6.4.3 迭代的收敛 |
| 第七章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间撰写和发表的论文、参与的科研项目及学术会议 |
（2）微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 首次积分与可积性 |
| 1.2 微分Galois理论 |
| 1.3 非线性微分方程的Galois方法及应用 |
| 1.4 本文的工作与展望 |
| 第二章 随机微分方程的首次积分 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 应用举例 |
| 第三章 几类三维系统的可积性与不可积性 |
| 3.1 Lorenz系统 |
| 3.1.1 亚纯首次积分 |
| 3.1.2 形式首次积分 |
| 3.2 Shimizu-Morioka系统 |
| 3.2.1 Shimizu-Morioka系统与Rucklidge系统的等价性 |
| 3.2.2 达布首次积分 |
| 3.2.3 不可积性 |
| 3.3 广义Rikitake系统 |
| 3.3.1 可积变形与双哈密顿结构 |
| 3.3.2 不可积性 |
| 第四章 Kowalevski指数,弱 Painlev′e性质和可积性 |
| 4.1 拟齐次系统的完全可积性 |
| 4.2 牛顿系统的广义刘维尔可积性 |
| 第五章 保守系统的部分可积性 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 应用:Karabut系统的部分可积性 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 后记和致谢 |
| 参考文献 |
（3）关于Riccati方程可积性的研究（论文提纲范文）
| 1主要结论 |
| 2实例说明 |
（5）Riccati方程的可积性条件（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 引理 |
| 2 主要结论 |
| 3 举例 |
| 4 结语 |
（7）非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机数学 |
| 1.2 孤立子的研究概要 |
| 1.3 可积系统与代数几何的研究概要 |
| 1.3.1 有穷维Hamilton系统 |
| 1.3.2 无穷维Hamilton系统 |
| 1.3.3 无穷与有穷维Hamilton系统之间的联系 |
| 1.3.4 代数几何解 |
| 1.4 非线性微分方程求解的发展概 |
| 1.4.1 反散射方法 |
| 1.4.2 Backlund和Darboux变换 |
| 1.4.3 Sato理论和Hirota双线性方法 |
| 1.4.4 李对称理论 |
| 1.4.5 其他方法的研究 |
| 1.5 超对称方程和超离散方程的发展概要 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 孤子理论中的AC=BD模式与“卦”理论 |
| 2.1 AC=BD模式的介绍 |
| 2.2 孤立子理论中的AC=BD模式 |
| 2.2.1 AC=BD模式在代数几何解中的应用 |
| 2.2.2 AC=BD模式在Sato理论中的应用 |
| 2.3 孤子方程的“卦”理论：“卦”结构和“卦”恒等式 |
| 2.3.1 孤子方程的“卦”结构和“卦”恒等式 |
| 2.3.2 外分解“卦恒等式” |
| 2.3.3 内分解“卦恒等式” |
| 2.4 Tau函数和Theta函数之间的关系 |
| 3 若干非线性偏微分方程的(Binary)Darboux变换、微分变换和Hamiltonian可积簇 |
| 3.1 一类非线性微分方程的三类N-重Darboux变换 |
| 3.1.1 广义导数阶非线性Schrodinger方程的三类N重Darboux变换 |
| 3.1.2 广义导数阶非线性Schrodinger方程的周期波解 |
| 3.2 一类非线性微分方程的奇异流行法：Auto-Backlund和Binary Darboux变换 |
| 3.2.1 非等谱(2+1)-维KP方程的Painleve截断展开的奇异流行法 |
| 3.2.2 非等谱(2+1)-维KP方程的Binary Darboux变换及其Grammian形式解 |
| 3.3 一类新的Hamiltonian Lattice簇：Lax可积性、约化及其Darboux变换 |
| 3.3.1 Multi-Hamiltonian Lattice簇的Laxe可积性及其约化 |
| 3.3.2 Multi-Hamiltonian Lattice簇的Darboux变换 |
| 3.4 一类自溶源mKP方程的Binary Darboux变换及其几种类型的解 |
| 3.4.1 mKP方程及其向前、向后和Binary Darboux变换 |
| 3.4.2 Sato理论框架下的一类自溶源mKP方程的广义Binary Darboux变换 |
| 3.4.3 Sato理论框架下的一类自溶源mKP方程的几种类型的解 |
| 3.5 一类非线性微分方程的微分变换-Pade逼近方法 |
| 3.5.1 微分变换-Pade逼近方法 |
| 3.5.2 微分变换-Pade逼近的应用：浅水波Camassa-Holm方程 |
| 4 非线性微分方程的非局部分析：非局部PDE系统、树形结构 |
| 4.1 非线性微分方程的守恒律：Euler算子与守恒律乘子 |
| 4.1.1 Euler算子与守恒律乘子 |
| 4.1.2 非线性微分方程的守恒律 |
| 4.2 非线性微分方程的非局部分析：非局部相关PDE系统及其树形结构 |
| 4.2.1 非线性微分方程的势系统与子系统 |
| 4.2.2 非线性扩散方程的非局部PDE系统及其树形结构 |
| 4.2.3 非线性Kompancets方程的非局部PDE系统及其树形结构 |
| 4.3 非局部PDE系统的应用：非局部对称、非局部守恒律与非局部线性化 |
| 4.3.1 非线性扩散方程的非局部对称、非局部守恒律与非局部线性化 |
| 4.3.1.1 非线性扩散方程的非局部对称与非局部守恒律 |
| 4.3.1.2 非线性扩散方程的非局部线性化 |
| 4.3.2 非线性Kompaneets方程的非局部对称 |
| 4.4 非局部对称的广义不变解：一个新算法 |
| 4.4.1 非局部广义不变解的一个新算法 |
| 4.4.2 非线性扩散方程：一个等离子体物理的算子 |
| 4.5 非局部对称与Nonclassical方法之间的关系：非线性Kompaneets方程 |
| 4.5.1 Kompanerts方程的非局部广义不变解及其爆破、稳态解 |
| 4.5.2 非局部对称与Nonclassical方法之间的关系：Kompanccts方程 |
| 5 非线性微分方程、超对称和超离散方程的有限拟周期亏格解 |
| 5.1 超空间、Super-Hirota双线性算子和Super Riemann-theta函数 |
| 5.2 非线性微分方程的Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析 |
| 5.2.1 非线性微分方程的广义Hirota-Riemann方法：Its-Matveev公式 |
| 5.2.2 Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera方程 |
| 5.2.3 (2+1)-维的爆破孤子方程 |
| 5.3 超对称方程的Super Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析 |
| 5.3.1 超对称方程的Super Hirota-Riemann方法：Super-Its-Matveev公式 |
| 5.3.1.1 超对称方程的Super Hirota双线性形式 |
| 5.3.1.2 超对称方程的Super Riemann theta函数周期波：Super-Its-Matveev公式 |
| 5.3.2 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程 |
| 5.3.2.1 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程的super Riemann theta函数解 |
| 5.3.2.2 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程周期波解极限渐近特性 |
| 5.4 若干离散方程与超离散方程的(Ud-)Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.1 广义的离散mKdV方程的Riemann theta函数周期解及其超离散化形式 |
| 5.4.1.1 广义的离散mKdV方程的Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.1.2 广义的离散mKdV方程的超离散化及其Ud-Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.2 广义的(2+1)-维Toda lattice方程的超离散化及其Ud-Riemann theta函数周期解 |
| 6 非线性微分方程、超对称和超离散方程的可积性质 |
| 6.1 多维的Bell与Super Bell多项式 |
| 6.1.1 多维的二元Bell多项式 |
| 6.1.2 多维的Super Bell多项式 |
| 6.1.3 多维的二元super Bell多项式 |
| 6.2 非线性微分方程的可积性质 |
| 6.2.1 广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的可积性质 |
| 6.2.2 5-阶Karteweg-de Vries方程的可积性质 |
| 6.3 超对称方程的可积性质 |
| 6.4 广义超离散方程的Lax可积性 |
| 6.4.1 超离散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可积性 |
| 6.4.2 广义超离散方程的Lax可积性 |
| 6.5 带有有限亏格(?)的Riemann theta函数的超离散化及其应用 |
| 6.5.1 带有有限亏格(?)的Riemann theta函数的超离散化 |
| 6.5.2 广义耦合的超离IRmKdV(Ud-mKdV)方程 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 非线性扩散方程的局部与非局部对称表 |
| 攻读博士学位期间学术论文完成情况 |
| 创新点摘要 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）Riccati方程可积条件的探讨（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 Riccati方程及其变形 |
| 1.2 Riccati方程的可积性 |
| 第2章 Riccati方程的可积条件 |
| 2.1 引理 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 应用 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）一类广义Riccati方程的三个可积判据（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 主要结果及其证明 |
| 3 应用举例 |
（10）一类新二阶非线性微分方程的可积判据（论文提纲范文）
| 0 问题的提出 |
| 1 可积充分判据 |
| 2 实例分析 |
四、Riccati方程的一个新的可积定理（论文参考文献）
- [1]较弱非退化条件下拟周期系统的可约化性[D]. 王琨. 东南大学, 2020(02)
- [2]微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性[D]. 黄开银. 吉林大学, 2019(10)
- [3]关于Riccati方程可积性的研究[J]. 段锋,赵临龙,张兰. 湘南学院学报, 2014(02)
- [4]一类二阶变系数线性微分方程的通解[J]. 张玉兰. 佳木斯大学学报(自然科学版), 2013(04)
- [5]Riccati方程的可积性条件[J]. 段锋,张兰. 湖南工业大学学报, 2013(01)
- [6]几种Riccati方程新的可积类型[J]. 段锋. 西安文理学院学报(自然科学版), 2013(01)
- [7]非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 田守富. 大连理工大学, 2012(10)
- [8]Riccati方程可积条件的探讨[D]. 郑波. 西南大学, 2009(S2)
- [9]一类广义Riccati方程的三个可积判据[J]. 陈明玉. 大学数学, 2008(01)
- [10]一类新二阶非线性微分方程的可积判据[J]. 张学元. 南阳师范学院学报(自然科学版), 2004(03)