一、变系数二阶线性齐次微分方程的一种新颖解法（论文文献综述）
钱志祥[1]（2021）在《变系数线性微分方程的解法探究》文中进行了进一步梳理研究了变系数线性微分方程的解法,介绍了变系数线性微分方程的一般解法和一些特殊解法,为求解变系数线性微分方程提供了解题思路.
王金妮,杨锐[2]（2021）在《二阶变系数微分方程求解问题》文中研究指明迄今为止,二阶变系数线性微分方程仍然没有通用的求解方法。本文利用了降阶法求解一类特殊的二阶变系数微分方程,并将该方法应用于具体的实例中,进一步说明了使用该方法的重点、难点及关键点等。
赵永良[3]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中认为分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
杨录峰[4]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中研究表明谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
廖晓花[5]（2021）在《三元一阶线性非齐次微分方程组解法分析》文中提出针对传统三元一阶线性非齐次微分方程组求解方法对特征解计算的精度较低,导致求解耗时较长、计算结果可靠性较差的问题,设计了新型三元一阶线性非齐次微分方程组求解方法.采用Matlab软件作为求解过程实施平台,根据方程组特征设定软件部件以及边值计算过程,完成方程组非齐次特征值求解,并分析非齐次特征值扰动性,获取高精度特征值的解;对三元一阶线性非齐次微分方程组进行变形转化,将非齐次特征值作为方程组求解过程的约束条件,结合传统解法完成方程组求解.结果表明:与传统解法对比,此解法的求解耗时较短,计算结果与已知结果相似度较高,计算结果具有一定的可靠性.使用此解法可有效提升对三元一阶线性非齐次微分方程组的计算能力.
陶筱平[6]（2020）在《一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨》文中研究说明本文对系数为一次函数的二阶变系数线性微分方程是否有形如y=xkerx类型的特解,以及求这种特解的方法进行了研究。首先证明了该类型方程的特解的充要条件,接着分析讨论了判断并求其特解的具体方法,还给出了通过特解y=xkerx反向构造此类方程的一种方法,最后结合实例对定理的结论进行了验证。
吴林霖,卢香竹[7]（2020）在《二阶常系数线性微分方程的解法》文中研究说明线性微分方程具有悠久的历史,并保持着发展潜力,主要原因是其扎根于各种实际问题。其中,二阶常系数线性微分方程在线性微分方程的研究中具有非常高的地位,其解决方案已较为完善,但面对不同问题时解决方案有所不同。本文探究了二阶常系数线性微分方程的求解方法。
齐文雅[8]（2020）在《演化偏微分方程的新有限元方法研究》文中进行了进一步梳理有限元方法作为数值求解偏微分方程的有效方法,其思想是把区域离散化,然后用分片多项式函数对解析解进行逼近,因此可以对不规则复杂区域的问题进行高效求解.随着有限元方法研究的深入,已经有很多成熟的有限元程序包在工程界广受欢迎,并在工程计算中大量应用,发挥着不可替代的作用.在科技飞速发展的当代,对实际问题进行模拟的偏微分方程也在快速发展之中,所以探索新有限元方法仍是数值研究领域的重要课题之一.本论文拟对几类演化偏微分方程的有限元方法做进一步更深层次的研究,发展新算法,建立新理论.目的是研发并寻求剖分单元形状选取更加任意化,多项式选取更加多样化,数值格式适用求解更一般区域的问题,同时可以适用更复杂偏微分方程的新有限元方法.第一类演化偏微分方程是抛物型问题.我们使用超罚弱有限元方法处理抛物型问题.超罚弱有限元方法在剖分小单元边界具有双值函数,基于边上的双值函数,很自然的在边界上产生跳跃,进而引入罚项,因此网格剖分和多项式选取具有很强的灵活性.首先,在与热量传输相关的抛物方程研究中,对时间离散采用稳定的?隐格式,包括具有一阶收敛性的后向欧拉格式和具有二阶收敛性的Crank–Nicolson格式的时间离散,分析超罚弱有限元方法在能量范数和L2范数意义下的最优收敛阶.其次,针对反映不同界面热量变化的变系数抛物界面问题,其系数与时间t和空间x同时相关,引用超罚弱有限元方法,全离散格式中采用后向欧拉时间离散,通过使用两种不同的误差分析方法,即直接从误差方程出发和引入椭圆投影的方法,建立半离散和全离散格式相应的最优阶收敛性分析理论,同时用数值算例验证理论结果.第二类演化偏微分方程是耦合固体和流体问题的Biot固化模型.Biot固化模型也可以描述流体在弹性多孔介质中的流动,具有很广泛的应用.我们通过引入耦合位移和压力的总应力场变量对Biot固化模型问题的有限元方法进行研究.首先,建立以位移,总应力和压力为自变量的三场变量的有限元方法,时间离散使用后向欧拉格式,对Biot固化模型进行数值求解,给出相应的场变量在能量范数意义下或者L2范数意义下的误差估计.数值实验使用了总应力是连续和间断的两种最低阶的有限元空间,论证方法的可行性和收敛性,同时说明这个方法对弹性参数具有鲁棒性.其次,为了保证格式的质量守恒,在上述三场变量有限元方法的基础上,引入压力的流体通量作为新的未知场变量,并采用Crank–Nicolson时间离散格式,进而给出包括位移,总应力变量,流体压力,流体通量为场变量的求解Biot固化模型的四场变量混合有限元方法.该研究建立了相应的半离散和全离散格式的收敛性理论,同时用数值例子论证了其关于时间和空间的误差收敛阶.第三类演化偏微分方程是时间相关的空间分数阶问题.本论文通过引入与时间相关的τ范数,把V循环多重网格方法自然应用到τ→0的情况.同时对其多重网格有限元方法进行一致收敛性分析,并在数值实验中使用傅里叶变换方法,论证了其理论收敛性.第四类演化偏微分方程是流体动力学Stokes问题.为了研究COVID-19疫情中病毒的传播,我们开始探索演化Navier-Stokes方程和线性运输方程的耦合问题.在本论文中,我们考虑数值逼近不可压缩流体稳态的Stokes问题.通过引入新弱梯度,对稳态的Stokes问题建立新弱有限元方法.新弱有限元方法的优势是其可以使用任意多项式的组合构造弱有限元空间,其特点是不同变量的多项式次数选取更加独立,更加灵活.我们对Stokes问题的新弱有限元方法的inf-sup条件进行推导,证明其数值解的存在唯一性,建立了速度场在能量范数意义下和L2范数意义下的误差估计,并给出了压力场在L2范数意义下的误差分析.最后,用数值算例验证我们理论的有效性和收敛性.基于此部分的研究工作,对非稳态的Stokes及相关问题的研究与应用将会陆续呈现.
陈着[9]（2020）在《非光滑数据下时间分数阶扩散方程的数值解法》文中提出作为微分方程理论的一个重要组成部分,分数阶微分方程有重要的研究意义.由于分数阶微分算子具有非局部性和记忆性,分数阶微分方程能较好的模拟一些自然现象和物体运动变化过程.因此分数阶微分方程在许多领域有广泛的应用.近年来,分数阶微分方程数值解的研究得到了快速发展,但高阶数值方法一般依赖精确解及初始数据的光滑性,精确解不光滑或者初始数据不光滑时,数值方法的精度会下降.本文针对这一问题,研究一维的Caputo时间分数阶扩散方程的数值解法,主要工作如下:第一章,给出了分数阶微分的研究意义、分数阶微分方程数值解法的研究现状、研究动机和本文的研究内容.第二章,给出了本文相关的预备知识,包括几种分数阶导数、Mittag-Leffler函数的定义及性质和Laplace变换以及相关定理.第三章,讨论一维的齐次时间分数阶扩散方程.基于加权C-N格式,构造出对初始数据和精确解都无光滑性要求的二阶加权C-N修正格式,并对加权C-N修正格式的收敛性和稳定性进行了分析.数值算例的结果表明分别在初始数据和精确解不光滑时,加权C-N格式只有时间一阶精度,但加权C-N修正格式仍保持时间二阶精度,验证了算法的可靠性、有效性和精确性.第四章,讨论一维的非齐次时间分数阶扩散方程.基于非齐次加权C-N格式,构造出对初始数据和精确解都无光滑性要求的二阶非齐次加权C-N修正格式,并给出收敛性分析.最后数值算例验证了算法的可靠性、有效性和精确性.第五章,讨论一维的齐次和非齐次时间分数阶扩散方程.基于加权C-N修正格式和非齐次加权C-N修正格式,提出一类新型加权C-N修正格式.收敛性分析表明这一类新型加权C-N修正格式在时间上保持二阶精度.最后给出数值算例,验证了算法的可靠性、有效性和精确性.
周宇澄[10]（2019）在《参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用》文中研究指明本文分别给出了非均质性球对称问题和空间轴对称问题的解析通解,构建了地球内部各物理和力学参数由简洁的函数关系所表达的弹性地球分层结构模型,并给出了模型的弹性力学解。对于非均质性球对称问题的研究,推导了非均质性问题的位移控制方程。首先考虑了杨氏模量随半径指数分布的情形,给出了问题的解析解。其次考虑了杨氏模量随半径为一般线性规律变化的情形,采用常微分方程的幂级数解法给出了问题的级数解。文中对球对称万有引力的分布进行了计算,其中假设密度函数沿半径方向呈指数分布,并给出了有体力非齐次方程的解析位移解。对于非均质空间轴对称问题的研究,考虑杨氏模量为最一般分布的情形,采用弹性力学应力解法求解柱坐标系中的轴对称应力平衡方程,给出了无体力问题的解析通解,并探讨了轴对称球体问题在柱坐标系中的表示方法以及求解程序。作为非均质性球体问题的应用,文中对地球内部结构模型进行了探讨。首先通过对现有的地球物理学测量数据进行拟合得到了地球内部地震波波速的函数分布关系,进而得到了地球内部弹性常数沿深度分布的函数关系,构建出弹性地球的力学模型,并采用Runge-Kutta数值方法计算了在给定边界条件时杨氏模量二次多项式分布情形的分层球对称问题,分别得到了考虑万有引力体力和不考虑体力时的弹性力学数值解。同时文中对构建的弹性地球内部结构模型从几个不同的方面进行了验证,包括地球的质量、转动惯量和各分层的地震波波速以及密度分布等。探究了考虑轴对称自转向心力时构建轴对称地球模型的程序和方法,同时也讨论了地球结构模型的几个实际应用以及还可以改进的地方。
二、变系数二阶线性齐次微分方程的一种新颖解法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、变系数二阶线性齐次微分方程的一种新颖解法（论文提纲范文）
（1）变系数线性微分方程的解法探究（论文提纲范文）
| 1 变量替换法 |
| 2 降阶法 |
| 3 拉普拉斯变换法 |
| 4 刘维尔公式法 |
| 5 常数变易法 |
| 6 幂级数解法 |
| 7 广义幂级数解法 |
| 8 勒让德函数法 |
| 9 贝赛尔函数法 |
| 10 结语 |
（2）二阶变系数微分方程求解问题（论文提纲范文）
| 一、降解法求解一类特殊的二阶变系数微分方程 |
| 二、降解法求解一类特殊的二阶变系数微分方程实例 |
（3）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（4）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）三元一阶线性非齐次微分方程组解法分析（论文提纲范文）
| 1 解法设计 |
| 1.1 求解软件设定 |
| 1.2 特征值求解 |
| 1.3 方程组求解 |
| 2 算例测试分析 |
| 2.1 算例准备 |
| 2.2 算例测试过程设定 |
| 2.3 算例结果分析 |
| 3 结语 |
（6）一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨（论文提纲范文）
| 1 相关研究 |
| 1.1 方程存在特解的条件 |
| 1.2 方程存在特解的判断方法 |
| 2 应用 |
（7）二阶常系数线性微分方程的解法（论文提纲范文）
| 1二阶常系数线性微分方程解的相关定理 |
| 1.1二阶常系数线性微分方程的概念 |
| 1.2二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加性 |
| 1.3二阶常系数非齐次微分方程的解法 |
| 2二阶常系数线性微分方程的几种解法及应用 |
| 2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法 |
| 2.1.1特征根是两个实根的情形 |
| 2.1.2特征根有重根的情形 |
| 2.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 |
| 2.2.1类型1 |
| 2.2.2类型2 |
（8）演化偏微分方程的新有限元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 演化偏微分方程的应用背景及研究现状 |
| 1.1.1 抛物型问题的应用背景及研究现状 |
| 1.1.2 Biot固化模型的应用背景及研究现状 |
| 1.1.3 时间相关的空间分数阶问题的应用背景及研究现状 |
| 1.1.4 稳态Stokes问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2 本论文的研究内容及创新点 |
| 1.3 本论文章节安排 |
| 1.4 记号说明和常用不等式 |
| 第二章 抛物问题的超罚弱有限元方法 |
| 2.1 超罚弱有限元方法的提出 |
| 2.2 超罚弱有限元格式和稳定性 |
| 2.3 最优收敛阶估计 |
| 2.3.1 半离散格式的收敛性 |
| 2.3.2 全离散格式的收敛性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 变系数抛物界面问题的超罚弱有限元方法 |
| 3.1 界面问题的研究背景 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 超罚弱有限元方法 |
| 3.4 误差分析 |
| 3.4.1 半离散格式的误差估计 |
| 3.4.2 全离散格式的误差估计 |
| 3.4.3 改进的误差估计 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 小结 |
| 第四章 Biot固化模型的Ritz-Galerkin有限元方法 |
| 4.1 研究的背景和动力 |
| 4.2 有限元离散和数值解的唯一性 |
| 4.3 误差估计 |
| 4.3.1 半离散格式的误差估计 |
| 4.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 4.3.3 两个最低阶有限元的收敛估计 |
| 4.3.3.1 当k=2,l=0时,间断总应力有限元 |
| 4.3.3.2 当k=2,l =1 时,连续总应力Taylor-Hood有限元 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 Biot固化模型的混合有限元方法 |
| 5.1 背景知识介绍 |
| 5.2 四场变量混合有限元方法 |
| 5.3 误差估计 |
| 5.3.1 半离散格式的误差估计 |
| 5.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 5.4 数值例子 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 演化空间分数阶问题的V循环多重网格有限元方法 |
| 6.1 研究背景 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.3 V循环多重网格有限元方法的一致收敛性 |
| 6.4 数值算例 |
| 6.5 小结 |
| 第七章 稳态Stokes问题的新弱有限元方法 |
| 7.1 研究背景 |
| 7.2 新弱梯度定义 |
| 7.3 新弱有限元格式和数值解唯一性证明 |
| 7.4 误差方程 |
| 7.5 误差分析 |
| 7.5.1 当μ=1时的误差估计 |
| 7.5.2 当n≤j和μ=0时的误差估计 |
| 7.6 数值实验 |
| 7.7 小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 全文总结 |
| 8.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（9）非光滑数据下时间分数阶扩散方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶微分的研究意义 |
| 1.2 分数阶微分方程数值解法的研究现状 |
| 1.3 研究动机 |
| 1.4 本文研究内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 分数阶导数 |
| 2.2 Mittag-Leffler函数的定义及性质 |
| 2.3 Laplace变换 |
| 第三章 齐次时间分数阶扩散方程的加权C-N格式及其修正 |
| 3.1 加权C-N格式 |
| 3.2 加权C-N修正格式 |
| 3.3 加权C-N修正格式的收敛性分析 |
| 3.4 加权C-N修正格式的稳定性分析 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 非齐次时间分数阶扩散方程的加权C-N格式及其修正 |
| 4.1 非齐次加权C-N格式 |
| 4.2 非齐次加权C-N修正格式 |
| 4.3 非齐次加权C-N修正格式的收敛性分析 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时间分数阶扩散方程的一类修正格式 |
| 5.1 齐次时间分数阶扩散方程的一类修正格式 |
| 5.2 新型加权C-N修正格式的收敛性分析 |
| 5.3 非齐次时间分数阶扩散方程的一类修正格式 |
| 5.4 新型非齐次加权C-N修正格式的收敛性分析 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（10）参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源及研究的背景和意义 |
| 1.1.1 课题的来源 |
| 1.1.2 课题的研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究进展及现状分析 |
| 1.2.1 国内外研究进展 |
| 1.2.2 国内外研究现状的简析 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.3.1 非均质性球对称问题 |
| 1.3.2 非均质性轴对称问题 |
| 1.3.3 球对称弹性地球模型 |
| 1.4 研究程序及方法 |
| 1.4.1 非均质性球对称问题 |
| 1.4.2 非均质性轴对称问题 |
| 1.4.3 球对称弹性地球模型 |
| 第2章 非均质性球对称问题的弹性力学解 |
| 2.1 非均质性球对称弹性力学方程 |
| 2.1.1 均质性球对称问题的弹性力学方程 |
| 2.1.2 非均质性球对称问题的弹性力学方程 |
| 2.2 非均质性球对称弹性力学问题及求解 |
| 2.2.1 常微分方程基础 |
| 2.2.2 非均质性球对称弹性力学问题的求解 |
| 2.2.3 非均质性球对称问题解的退化形式及验证 |
| 2.3 非均质性球对称弹性力学问题的应用 |
| 2.3.1 球对称功能梯度材料的设计 |
| 2.3.2 铁电材料畴变的理论研究 |
| 2.3.3 地球内部结构模型的建立 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 非均质性轴对称问题的弹性力学解 |
| 3.1 均质性轴对称弹性力学问题 |
| 3.1.1 球坐标系中轴对称弹性力学问题 |
| 3.1.2 柱坐标系中轴对称弹性力学问题 |
| 3.2 非均质性轴对称弹性力学问题 |
| 3.2.1 非均质性轴对称弹性力学基本方程 |
| 3.2.2 非均质性轴对称弹性力学问题的求解 |
| 3.3 轴对称球体问题的柱坐标解法 |
| 3.3.1 球体模型的柱坐标表达 |
| 3.3.2 非均质性轴对称球体问题的柱坐标解答 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 弹性地球内部结构模型的构建 |
| 4.1 球对称弹性地球模型 |
| 4.1.1 地球内部物质的密度分布 |
| 4.1.2 地球内部地震波波速的分布与拟合 |
| 4.1.3 地球内部弹性常数的分布与拟合 |
| 4.2 球对称弹性地球模型的验证 |
| 4.2.1 地球质量的验算 |
| 4.2.2 地球转动惯量的验算 |
| 4.2.3 地球模型中其他特征的验算 |
| 4.3 轴对称弹性地球模型 |
| 4.3.1 轴对称自转向心力 |
| 4.3.2 轴对称地球模型简析 |
| 4.4 地球内部结构模型的应用 |
| 4.4.1 地球章动 |
| 4.4.2 钱德勒摆动 |
| 4.5 地球力学模型的研究展望 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 弹性地球内部结构模型的力学解 |
| 5.1 无体力球对称弹性地球的力学解 |
| 5.1.1 无体力球对称弹性地球的平衡方程 |
| 5.1.2 无体力球对称弹性地球的分层求解 |
| 5.2 有体力球对称弹性地球模型及其力学解 |
| 5.2.1 球对称万有引力 |
| 5.2.2 有体力球对称弹性地球的分层求解 |
| 5.3 有、无体力球对称模型的对比分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 地球内部物质的参数分布 |
| 附录B 文中数值计算涉及到的MATLAB源代码 |
| B.1 四阶Runge-Kutta法求解内核部分的无体力位移平衡方程 |
| B.2 四阶Runge-Kutta法求解内核及下地幔部分的有体力位移平衡方程 |
| 致谢 |
四、变系数二阶线性齐次微分方程的一种新颖解法（论文参考文献）
- [1]变系数线性微分方程的解法探究[J]. 钱志祥. 兰州文理学院学报(自然科学版), 2021(06)
- [2]二阶变系数微分方程求解问题[J]. 王金妮,杨锐. 数学大世界(下旬), 2021(04)
- [3]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [4]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [5]三元一阶线性非齐次微分方程组解法分析[J]. 廖晓花. 兰州工业学院学报, 2021(01)
- [6]一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨[J]. 陶筱平. 黄冈师范学院学报, 2020(06)
- [7]二阶常系数线性微分方程的解法[J]. 吴林霖,卢香竹. 理科爱好者(教育教学), 2020(05)
- [8]演化偏微分方程的新有限元方法研究[D]. 齐文雅. 兰州大学, 2020(04)
- [9]非光滑数据下时间分数阶扩散方程的数值解法[D]. 陈着. 华南理工大学, 2020(02)
- [10]参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用[D]. 周宇澄. 哈尔滨工业大学, 2019(02)